微瓶腔示意图如Lb, 腔体两端瓶中心直径Db(半径Rb), 连接微腔的光纤柄的直径Ds(半径Rs), 用近似的抛物线的轮廓模型来拟合微瓶腔的形状[, 轮廓表示为z坐标的函数, 可表示为

$

D\left( z \right) = {D_{\rm{b}}}[1 - 1/2{\left( {\Delta kz} \right)^2}],

$

其中, ∆k为微瓶腔轮廓曲线的曲率. 利用实验中制备得到的微瓶腔参数对腔体形状进行拟合: Db = 150 μm, Ds = 125 μm, Lb = 250 μm, 微瓶腔轮廓拟合结果如

图  2

微瓶腔几何形状示意图及其基本参数

Figure 2.

Geometrical schematic and basic parameters of the microbottle resonator.

图  3

(a)几何轮廓拟合结果; (b)轴向模式(m = 420, p = 1, q = 4)场分布图

Figure 3.

(a) Fitted result of geometric outline; (b) axial mode field distributions (m = 420, p = 1, q = 4).

微瓶腔的电场满足亥姆霍兹方程:

$\left( {{\nabla ^2} + {k^2}} \right) \cdot E = 0, $

其中, k为传播波矢, ${\nabla ^2}$

为拉普拉斯算符, 可以在柱坐标系下表示为

${\nabla ^2} = \frac{1}{r}{\partial _r} + {\partial _r}^2 + \frac{1}{{{r^2}}} + {\partial _\varphi }^2 + {\partial _z}^2. $

由于微瓶腔在轴向z的半径变化很小, 满足dR/dz $\ll $

1, 径向分量的传播波矢kr相对其他两个方向可忽略不计, k表示为

$k \approx \sqrt {{k_z}^2 + {k_\va