Topic 11 Boundary Layers, Separation & Drag

Note1

（自用，未必完整正确）

对N-S方程的变量进行无量纲化，可以写成如下形式：

• $p^{\ast }=\frac{p}{\rho u_0^2}$
• $v^{\ast }=\frac{v}{u_0}$
• $\frac{D{v}^{\ast }}{Dt}=-\nabla p^{\ast }+\frac{1}{R{e}_L}{\nabla }^2{v}^{\ast }$
• $R{e}_L=\frac{\rho vL}{\mu }$

在主流(远场）中，流动速度与长度尺度都较大，雷诺数较大，惯性力占主导地位，黏性力影响较小，在N-S方程中由于量级的差距可以忽略。但在边界层中，由于长度尺度与速度尺度均较小，雷诺数较小，惯性力与黏性力作用相当（equate），不能忽略。
边界层方程的推导就源于惯性力与黏性力的平衡。首先根据N-S方程写出惯性力项与黏性力项的表达式并进行量纲分析近似（用词可能不准确）：

• 惯性力 $\rho v\cdot \nabla v\sim \rho u_0\cdot \frac{u_0}{L}$
• 黏性力 $\mu {\nabla }^{2}v\sim \mu \frac{u_0}{{\delta }^2}$

当两者“同等重要”时：

• $\rho u_0\cdot \frac{u_0}{L}\sim \mu \frac{u_0}{{\delta }^2}$

得到：

• $\frac{\delta }{L}\sim \sqrt{\frac{\mu }{\rho u_{0}L}}=\sqrt{\frac{1}{R{e}_L}}$

上式也可以看出雷诺数大时边界层厚度较小，但这只是一种定性的分析。如果要定量地衡量边界层厚度，主要有3种方法：

• 速度比例（翻译不一定准确）。达到99%（亦有95%）主流速度的位置作为边界层边缘；
• 位移厚度 ${\delta }^{\ast }$（displacement thickness）。由于边界层的存在，靠近壁面部分速度较主流小（叫做速度亏损 velocity defect），因而质量流量较小。位移厚度表示在无黏流体中，保持同样质量流量时，需要将壁面向主流方向平移的距离。写成积分表达式就是：
  • ${\int }_0^h{v}_x(y)dy=u_0(h-{\delta }^{\ast })$, h是一个边界层外的比较大的距离，可以理解成$\infty$?
  • 整理之后写成 ${\delta }^{\ast }={\int }_0^{\infty }(1-\frac{v_x(y)}{u_0})dy$
• 动量厚度$\Theta$。与质量流量积分衡量黏性带来的质量流量变化类似类似，动量厚度衡量的是由黏性带来的流体动量差，同样写成积分形式（这里直接写成无穷积分）：
  • ${\int }_0^{\infty }\rho v_x^2(y)dy=\rho u_m^2(h-{\delta }^{\ast })$
  • 整理得：$\Theta ={\int }_0^{\infty }\frac{v_x}{u_0}(1-\frac{v_x(y)}{u_0})dy$
  • 由于$v_x$一般小于$u_0$，动量厚度往往小于位移厚度

接下来研究一个具体的边界层流动问题，二维平板边界层

图1 二维平板边界层（图源网络）

此处将x正方向记为水平向右，y轴正方向记为竖直向上，无穷来流速度记为$u_0$。边界层控制方程同样是流动控制方程，由质量守恒方程与动量守恒方程组成。
由于边界层的存在，近壁面的流线并不是水平的，而是在y方向有一定偏移，这说明流动在y方向有一个很小的但不为0的速度。写出质量守恒方程：
$$\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}=0\text{\hspace{1em}(1)}$$
进行近似分析：

• $\frac{u_0}{x}+\frac{v_y}{\delta }\sim 0$
• $\frac{v_y}{u_0}\sim \frac{\delta }{x}$

由于考虑的是定常（stable）的二维平板流动，略去物质导数中的时间项，仅考虑二维动量方程在x方向的分量方程。由于研究的对象是平板，压力总垂直于x方向，因此在x方向没有压力梯度：
$$\rho v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}+\rho v_y\frac{\partial v_x}{\partial y}=\mu \frac{{\partial }^2{v}_x}{\partial y^2}\text{\hspace{1em}(2)}$$

接下来给出方程边界条件（流场边界条件和初始条件）：

• $\forall x>0,\{\begin{array}{ll}{v}_x=0,v_y=0,& y=0\\ v_x\to u_0,v_y\to 0,& y\to \infty \end{array}$
• $\forall y>0,x=0,有v_x=u_0$

具体求解过程是把y换成一个相似量$\eta =\frac{y}{\delta (x)}$

【TBC】
欢迎指正