第8章 特征矩阵(矩阵相似、最小多项式、特征矩阵相似、不变因子、初等因子和若当标准型)

2023-09-24 22 0

 1.相似

\left | \lambda E- B \right |=\left | \lambda E- P^{-1}AP \right |=\left | P^{-1}\lambda EP- P^{-1}AP \right |=|P^{-1}|\left | \lambda E- A \right ||P|=|\lambda E- A|

相似有相同的特征多项式。

若线性变换\AA在一组基(\xi _{1},...,\xi _{n})下的矩阵为A,(\eta _{1},...,\eta _{n})下的矩阵为B,(\xi _{1},...,\xi _{n})(\eta _{1},...,\eta _{n})的过渡矩阵为X,则B=X^{-1}AX

2.最小多项式

满足f(A) = O的最低次数的多项式。

P^{-1}AP = B=>P^{-1}f(A)P = f(B)

f(A)=0当且仅当f(B)=0。A和B有相同的最小多项式f(x)满足f(A)=0,f(B)=0。

根据汉密尔顿-凯莱定理:

f(\lambda )=\left | \lambda E- A \right |=a_{n}x^{n} + ... + a_{0}\Rightarrow f(A) = a_{n}A^{n}+...+a_{0}E=0

最小多项式整除特征多项式。最小多项式相等不一定相似。

已知最小多项式,可以得出矩阵A若当标准型中,对角线都是A的特征值,若当标准型为对角矩阵,表示矩阵可对角化。若矩阵可对角化等价于则矩阵A的最小多项式为一次因式的乘积:

若当标准型存在若当块:

J =\begin{pmatrix} a & & & \\ 1& \ddots & & \\ & \ddots & a & \\ & & 1 & a \end{pmatrix}

J的特征多项式和最小多项式都为(\lambda - a)^{k}, k大于2,所以不可对角化意味着最小多项式有一个因式次数大于1。

最小多项式相同,不一定相似

3. \lambda-矩阵

1.矩阵中的元素为\lambda的多项式,即P[\lambda ]的元素,称为\lambda-矩阵。

2.A(\lambda)B(\lambda)=B(\lambda)A(\lambda)=E则称A(\lambda )可逆。

3.A(\lambda )可逆的充要条件是|A(\lambda )|的值等于常数d:

A(\lambda )B(\lambda )都是多项式,|A(\lambda )||B(\lambda )|相乘等于1,意味着A(\lambda )B(\lambda )都是零次多项式,反过来,|A(\lambda )|=d,取B(\lambda )=\frac{A(\lambda )^{*}}{|A(\lambda )|}\Rightarrow \frac{A(\lambda )^{*}}{|A(\lambda )|}A(\lambda )=A(\lambda )\frac{A(\lambda )^{*}}{|A(\lambda )|}=E。即|A(\lambda )|=d可以得到A(\lambda )可逆。

4.A(\lambda )B(\lambda )等价,如果可以通过初等变换相互转化。

5.任意A(\lambda )等价于标准型\begin{pmatrix} d_{1}(\lambda ) & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & d_{k}(\lambda ) & & \\ & & & 0 \\ & & & & \ddots \end{pmatrix}

其中d_{i}(\lambda )|d_{i+1}(\lambda ),i=1,...,k-1

证明:A(\lambda )至少有一个元素不能被a_{11}(\lambda )元素除得尽,可以找到与A(\lambda )等价的矩阵,左上角元素的次数低于a_{11}(\lambda )

由于次数最低为1,上述步骤不可能无限循环下去,因此能够将矩阵化成一个每个元素都能被a_{11}(\lambda )元素除得尽的等价矩阵。(a_{ij}(\lambda )=a_{11}(\lambda ) \varphi ( \lambda )

再将第一行和第一列消去,化成一个左上角元素a_{11}(\lambda )能除得尽A(\lambda )中每一个元素的等价矩阵

\begin{pmatrix} a_{11}(\lambda )& O \\ O & A_{1}(\lambda ) \end{pmatrix}

利用数学归纳法,A_{1}(\lambda )经过初等变换,可以将它的左上角a_{22}(\lambda )能除得尽其中每个元素,且被a_{11}(\lambda )除得尽的等价矩阵。最终变换为标准型。

6.k级子式的首相系数为1的最大公因式D_{k}(\lambda )称为A(\lambda )的k级行列式因子,若\lambda-矩阵等价,则具有相同的秩和各级行列式因子。

不改变的行和列,子式完全相同无须考虑。

第一种初等变换交换两行,交换的k级行列式的值只改变符号。第二种某一行乘以c倍,行列式结果相差c倍。

第三种,将第j行乘以\varphi ( \lambda )加到第i行,即a_{ik}(\lambda )=a_{jk}(\lambda ) \varphi ( \lambda )+a_{ik}(\lambda ),k=1,...n

不包含第j行的子式的结果为\begin{vmatrix} ... & & & \\ a_{i1}(\lambda ) +a_{j1}(\lambda )\varphi (\lambda ) & ... & & a_{in}(\lambda ) +a_{jn}(\lambda )\varphi (\lambda )\\ ...& & & \\ a_{k1}(\lambda ) & ... & & a_{kn}(\lambda ) \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} ... & & & \\ a_{i1}(\lambda ) & ... & & a_{in}(\lambda ) \\ ...& & & \\ a_{k1}(\lambda ) & ... & & a_{kn}(\lambda ) \end{vmatrix}\begin{vmatrix} ... & & & \\ a_{j1}(\lambda )\varphi (\lambda ) & ... & &a_{jn}(\lambda )\varphi (\lambda )\\ ...& & & \\ a_{k1}(\lambda ) & ... & & a_{kn}(\lambda ) \end{vmatrix}

右边的都是原有矩阵的k级子式,它们的和都能除得尽公因式,所以第三种初等变换得到的矩阵k级行列式因子相等,k取遍1到n,各级行列式因子都相等。

A(\lambda )等价的标准型\begin{pmatrix} d_{1}(\lambda ) & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & d_{k}(\lambda ) & & \\ & & & 0 \\ & & & & \ddots \end{pmatrix}和初等变换不改变k级行列式因子,我们可以根据标准型的行列式因子计算A(\lambda )的行列式因子,0能够被任何多项式除得尽,所以只需计算对角线上的k级子式的公因式,即行列式因子:

D_{k}(\lambda )=d_{1}(\lambda )\cdots d_{k}(\lambda ),反过来由d_{k}(\lambda )=\frac{ D_{k}(\lambda )}{ D_{k-1}(\lambda )},公因式是唯一的,所以D_{k}(\lambda )都是唯一的,所以d_{1}(\lambda ),...d_{k}(\lambda )都是唯一的。即标准型唯一,d_{1}(\lambda ),...d_{k}(\lambda )称为不变因子

7.矩阵A与B相似的充要条件是\lambda E- A\lambda E- B等价

\lambda E- A=P_{0}(\lambda E- B)Q_{0},比较多项式的系数,可知P_{0}Q_{0}=EA=P_{0}BQ_{0}从而相似。

引理,看成多项式相除即可,即考虑多项式U(x)除以x-a_{0},要么除尽,要么它的余数次数小于1,即余数为常数,商为次数小于U(x)的多项式:

8.矩阵相似充要条件是特征矩阵\lambda E- A\lambda E- B等价(即能够初等变换相互转化),特征矩阵相似的充要条件是行列式因子和不变因子完全相同(充分性是因为初等变换不改变行列式因子,必要性:若不变因子相同,说明两个特征矩阵都能初等变换为同一个标准型,实际上标准型也能初等变换为矩阵A,B,因为A和B标准型相同也就等价,等价有传递性)。

因此,矩阵相似的充要条件也可以认为它们的特征矩阵有相同的不变因子。

​​​​​​特征矩阵|\lambda E- A|的值为多项式不为0,因此秩为n,标准型中一定有n个不变因子,它们的乘积等于|\lambda E- A|\lambda E- A=P_{1}...P_{s}\Lambda Q_{1}...Q_{k} ,\Lambda为标准型\lambda矩阵,由于初等矩阵的秩全为1,所以|\lambda E- A|=|\Lambda | 

显然特征多项式也等于n级行列式因子因此给出不变因子D_{n}(\lambda )=d_{1}(\lambda )\cdots d_{n}(\lambda ),有了不变因子就可以求得特征多项式 。

9.初等因子

次数大于0的不变因子,分解成首项系数为1的一次因式方幂的乘积,这些一次因式方幂是初等因子,相同按次数计算。

 根据定义,不变因子确定了,初等因子就确定了。反过来,初等因子相同,将相同因式按照升幂的方式填入标准型中(初等因子是从其中一个不变因子的因式分解中取出来的,所以每一个初等因子一定在某一个不变因子里),考虑这些初等因子在标准型矩阵的位置:

最高次在最后一个不变因子中,次高次数在倒数第二个位置,往后类推,数量不够的因式补适当个1,所有的初等因子填完,就能够唯一确定标准型和不变因子。

所以不变因子相同等价于初等因子相同,因此矩阵和矩阵相似又等价于和这个矩阵有相同初等因子。这里的矩阵是数字矩阵,数字矩阵的行列式是特征多项式,所以最高次数出现在对应的特征矩阵的右下角,但并不是任何\lambda-矩阵可以认为初等因子相同能唯一确定标准型:

10、求若当矩阵的初等因子,若已知矩阵A的初等因子,则可以确定A相似于有相同初等因子的若当矩阵。

对角形矩阵将相邻位置的相同因式交换位置,得到的矩阵和对角矩阵等价:

1. f1(x)和g1(x)互素,则(f1(x),f2(x))和(g1(x),g2(x))的公因式d1(x),d2(x)互素。

这是因为假如d1(x),d2(x)不互素(d1(x)整除f1(x),f2(x),d2(x)整除g1(x),g2(x)),就存在一个次数大于0的多项式d3(x),它整除d1(x),d2(x),当然也整除f1(x),f2(x),g1(x),g2(x)。即d3(x)是f1(x)和g1(x)的公因式。与f1(x)和g1(x)矛盾。

2. d1(x)互素和d2互素,又能整除d(x),则d1(x)d2(x) | d(x)用到了多项式中的性质二。

3. d(x) | f1(x)g1(x)则可以找到f(x)和g(x)使d(x)=f(x)g(x),且f(x) | f1(x), g(x) | g1(x)

 

对角矩阵的某一个相邻子式等价,则两个矩阵也等价:

最后得到的等价的对角阵,主对角线上的相同一次因式的方幂是升幂排序,为其标准型。这些一次因式都是标准型的初等因子,也是原来的对角形矩阵的初等因子。

求矩阵的初等因子:求和它相似的若当矩阵或者对角阵的初等因子,对角线上的一次因式的方幂就是所求的初等因子。反过来,已知矩阵的初等因子,可求得若当矩阵

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