图形学插值函数理解与联系

2023-09-24 16 0

文章目录

  • 基本概念
  • 一些插值函数
  • 拉格朗日,牛顿插值法
    • Hermite 样条
    • Kochanek–Bartels 样条
    • Catmull-Rom 样条
    • RBF 径向基函数
    • 薄板样条

看过很多遍,但是其中的关系理解不清楚,没想到写在一起自然就知道了。主要有时候不用理解具体内容,而是知道每个概念之间的关系就能明白为什么发展成这种形式。

基本概念

插值就是要过所有的数据点,拟合则是满足一定趋势就行

给定 (x,y), y=f(x) 构造一个简单函数 P(x) 满足 y i = P ( x i ) y_i=P(x_i) yi=P(xi) ,则P(x) 为插值函数
一般P(x) 为分段插值多项式

一些插值函数

拉格朗日,牛顿插值法

这些就是构造高次多项式拟合,但是容易仅仅再函数值层面符合f(x),满足不了其他特性。

一次一般要使用分段插值

Hermite 样条

可以满足导数一致性,一般使用三次。
三次Hermite插值 这里讲了为什么基函数要那样构造,首先要满足正交,其次推理出来系数项。
第9页有详细的求法

在这里插入图片描述

Kochanek–Bartels 样条

给定n+1个节,用n个 Hermite 曲线段进行插值。 但是每条曲线,切线的定义由 TCB 三个量来控制。 (可能是同一组?)
疑问:也就是说对于每个 hermite 少一个参数,而且还有一定的控制意义?还是说又增加了三个参数,以保证一定控制性。
在这里插入图片描述

Catmull-Rom 样条

就是 Kochanek–Bartels 中 TCB = 0 的情况。 比较适用于 轨迹线算法
特点:1)中间点的切线,与相邻两点连线平行 2)经过所有中间点

τ \tau τ 是个控制参数,表示切线比例, 具体推导细节可以看 Catmull-Rom Spline
在这里插入图片描述

RBF 径向基函数

主要可以理解为把前面的导数部分换成了核函数,使其局部满足一定的条件。
比如如果选用高斯核函数,那么局部就会呈现处高斯分布状。

与上面不同的是,这里面是一次性拟合非常多的点。 可视化概念如下所示
在这里插入图片描述

这里讲了如何用网络来表示

薄板样条

是 RBF选用的基的一种,主要是保证了弯折能量最小

代码编程
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