概率论–随机变量

一.随机变量及其分布函数

二.离散型随机变量及其分布

三.连续型随机变量及其分布

一.随机变量及其分布函数

随机变量的定义：设随机实验的样本空间为U，如果对U中每一个元素e，有一个实数X(e)与之对应，这样就得到了一个定义在U上的实值值函数X=X(e)，称之为随机变量

分布函数：为了研究随机变量的统计规律，并由于随机变量X的可能取值不一定能依次列出，但在一般情况下可以研究随机变量的取值落在某区间(x1,x2]中的概率，即求P{x1<X=<x2},但由于

P{x1<X=<x2} = P{X=<x2} - P{X=<x1}

由此研究P{x1<X<x2}就归结为研究形如P{X=<x}的概率问题，其中P{X<x}的概率值随着x的不同而变化，它是x的函数，称此函数为分布函数

设X是随机变量，x为任意实数，函数F(x)=P{X=<x}称为分布函数，对于任意x1,x2(x1<x2)都有：

P{x1<X=<x2} = P{X=<x2} - P{X=<x1}=F(x2) - F(x1)

分布式函数的性质：

1.F(X)为单调不减的函数 F(x2) - F(x1)=P{x1<X=<x2} >=0

2.0=<F(X)=<1

3.F(X+0)=F(X)，即F(X)为右连续

二.离散型随机变量及其分布

离散型随机变量：如果随机变量的可能取值和个数为有限个或无线个，则称该随机变量为离散型随机变量

1.两点分布：若随机变量X可能值只有x1,x2两值，它的分布为

P{X=x1}=1-p, 0<p<1, P{X=x2}=P

则称X服从参数为p的两点分布

2.二项分布：若随机变量的分布为

P{X=k} = $C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ , k=0,1.....n

则称X服从参数为n,p的二项分布，记作X~b(n,p)

泊松定理：设 $np_{n}=\lambda$ ,则对任意一个固定的非负整数k，有

$\lim_{n->\infty}C_{n}^{k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}=\frac{\lambda ^{k}e^{-\lambda}}{k!}$

3.泊松分布:若随机变量X的分布律为

P{X=k} = $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$ ,其中 $\lambda >0$ ,则称X服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，记为X~P( $\lambda$ )

三.连续型随机变量及其分布

若对随机变量X的分布函数F(x),存在非负函数f(x),使对于任意实数x，有：

$F(X)=\int_{-\infty}^{x}f(x)dt$ 则称X为连续型随机变量，其中f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数

f(x)具有性质：

1.f(x)>=0

2. $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=1$

3.P{x1<X=<x2} = F(x2) - F(x1)

= $\int_{x1}^{x2}f(x)dx$ ,(x1=<x2)

4.若f(x)在x点连续，则有 ${F}'(x)=f(x)$

注：介于曲线y=f(x)与y=0之间的面积为1，X落在区间(x1,x2]内的概率P{x1<X=<x2}等于区间(x1,x2]上曲线y=f(x)之下曲边梯形的面积

均匀分布：若连续型随机变量X具有概率密度 $f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b-a},a<x<b\\0, \end{matrix}\right.$ ,则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记X~U(a,b)

若a=<c<b=<d,则

P{c<X<b}= $\int_{c}^{d}\frac{1}{b-a}dx=\frac{d-c}{b-a}$

指数分布：若随机变量X的密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x},x>0\\0 \end{matrix}\right.$ ,其中 $\lambda>0$ 为常数，则称X服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，记为X~E( $\lambda$ )

正态分布：若连续型随机变量X的密度函数为 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\delta}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\delta^{2}}} ,-\infty<x<+\infty$ ,其中 $\delta ,\mu$ 为常数，则称X服从参数为 $\delta, \mu$ 的正态分布，记为X~N( $\mu ,\delta ^{2}$ )